রিমান রিঅ্যারেঞ্জমেন্ট থিওরেম

১.
অসীম ধারা বা ইনফিনিট সিরিজ গণিতের যেমন মজার তেমনই চমৎকার একটা জিনিস। প্রাচীনকালে জেনো তার সেই বিখ্যাত প্যারাডক্সের মাধ্যমে একিলিসকে সামান্য একটা কচ্ছপের কাছে হারিয়ে দিয়েছিলেন সে গপ্পো তো সবারই জানা। এই উদ্ভট প্যারাডক্সের পিছনে রয়েছে অসীম ধারার জারিজুরি। এরপর কালে কালে গণিতবিদেরা ইনফিনিট সিরিজ নিয়ে অনেক কাজ করে গেছেন আর গণিতের ভাণ্ডারকে ঋদ্ধ করেছেন। এই অসীম ধারারই মজার একটা থিওরেম নিয়ে এই লেখায় আলোচনা করব।

আজ থেকে দুই শতাব্দী আগের কথা। সময়টা ১৮২৭ সাল। জার্মান গণিতবিদ গণিতবিদ কার্ল পিটার লেজুনি গুস্তাব ডিরিচলেট ফুরিয়ের সিরিজ নিয়ে কাজ করছিলেন। এসময় তিনি Alternating harmonic series নিয়ে অদ্ভুত একটি জিনিস লক্ষ্য করেন। অদ্ভুত না বলে উদ্ভট বলা ভালো। যাইহোক, জিনিসটা কী তা বলার আগে Alternating harmonic series এর সাথে পরিচয় পর্বটা সেরে ফেলা যাক।

S=1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+(1/5)-(1/6)+(1/7)-(1/8)+(1/9)-(1/10)+...

এটাকে Alternating harmonic series বলে। এবার এই সিরিজের উপর কিছু অপারেশন করি।
প্রথমে সিরিজটাকে 2 দিয়ে গুণ করা যাক :
2S=2-1+(2/3)-(1/2)+(2/5)-(1/3)+(2/7)-(1/4)+(2/9)-(1/5)+...

এরপর এই নতুন সিরিজটার যেসকল পদের হর একই তাদেরকে একসাথে লিখব। অর্থাৎ 2 আর -1 এর হর একই, 2/3 আর -1/3 এর হরও একই, তাই আমরা সিরিজটা "একটু সাজিয়ে" লিখে পাই:

2S=(2-1)-1/2+(2/3 – 1/3)-1/4+(2/5 – 1/5)-1/6+...
➾2S=1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+(1/5)-(1/6)+...
কিন্ত এটা তো Alternating harmonic series টাই যার মান S।
তাই, 2S=S ➾ 2=1।

তাহলে সিরিজটার উপর ছুরি-কাঁচি চালিয়ে অপারেশন শেষে আমরা প্রমাণ করে ফেললাম 2=1! কিন্তু এটা তো সম্ভব না। তারমানে নিশ্চয় কোথাও একটা গড়বড় করেছি। কিন্তু আপাতদৃষ্টিতে তো মনে হচ্ছে সব ঠিকঠাকই আছে। তাহলে শুভঙ্করের ফাঁকিটা আসলে কোথায়? ডিরিচলেট সাহেবও এই ফাঁকিটা পুরোপুরি ধরতে পারেননি। তাই আপাতত তাকে বিদায় দেওয়া যাক। রঙ্গমঞ্চে আমন্ত্রণ জানাচ্ছি ডাকসাইটে জার্মান গণিতবিদ জর্জ ফ্রেডরিক বার্নার্ড রিমানকে (হ্যাঁ, ওনি সেই রিমান যার প্রদত্ত রিমান হাইপোথিসিস প্রমাণ করতে পারলে আপনি এক মিলিয়ন ডলারের মালিক বনে যাবেন।) উপরের প্রমাণে গলদটা কী সেটা তিনি চমৎকারভাবে ব্যাখ্যা করেছিলেন যে ব্যাখ্যাটা এখন রিমান রিঅ্যারেঞ্জমেন্ট থিওরেম (Reimann rearrangement theorem) নামে পরিচিত। এই থিওরেম নিয়ে কথা বলার আগে ইনফিনিট সিরিজ সম্পর্কে একটু ঘাঁটাঘাঁটি করতে হবে।

২.
আচ্ছা বলুন তো
½+1/4+1/8+...
এই সিরিজটার যোগফল কত? আপনি নিশ্চয় চট করে বলে দিতে পারবেন 1। তাহলে এবার বলুন তো
1+3+5+7+...
এই ইনফিনিট সিরিজটার যোগফল কত? এটাতে আপনি আটকে যাবেন। প্রথম সিরিজটার যোগফল বের করা গেলেও দ্বিতীয় সিরিজটার যোগফল বের করা যায় না কেন? দুটোর মধ্যে ফারাক কী? সেটা বের করার চেষ্টা করা যাক।

১ম সিরিজটা আমাদের সুপরিচিত গুণোত্তর ধারা । তাই এটির প্রথম n টি পদের আংশিক সমষ্টি
1/2+1/4+1/8+...+1/2^(n-1) = 1- 1/(2^n)

এখন n এর কিছু মান নিয়ে এই সিরিজের যোগফল বের করে দেখি।
প্রথম 5 টি পদের যোগফল =1-1/(2^5)=0.96875
প্রথম 7 টি পদের যোগফল = 1-1/(2^7)=0.9921875
প্রথম 10 টি পদের যোগফল = 1-1/(2^10)= 0.999023437
অর্থাৎ আমরা যত বেশি পদ যোগ করছি, যোগফলটা ততই 1 এর দিকে আগাচ্ছে। আর n ➾ ∞ হলে 1/(2^n) এর মান 0 হয়ে যাবে এবং তখন 1-1/(2^n) এর মান 1 এ গিয়ে ঠেকবে।

এই সিরিজটির মতই যে ইনফিনিট সিরিজ সমূহের পদগুলো যোগ করতে থাকলে যোগফলটা ক্রমশ একটা নির্দিষ্ট সংখ্যার দিকে অগ্রসর হতে থাকে এবং
n ➾ ∞ হলে সিরিজটার একটা নির্দিষ্ট সমষ্টি পাওয়া যায় সেই ইনফিনিট সিরিজগুলোকে কনভার্জেন্ট সিরিজ বলে।

আর একটি ইনফিনিট সিরিজের পদগুলো যোগ করতে থাকলে যোগফলটা যদি কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যার দিকে কনভার্জ না করে তাহলে সেই সিরিজটা হল ডাইভার্জেন্ট সিরিজ।
যেমন 1+3+5+.... এই সিরিজটা একটা ডাইভার্জেন্ট সিরিজ। কারণ এই সিরিজের যত বেশি পদ যোগ করব, যোগফলটা তত বড় হতে থাকে। আর এই সিরিজের সবগুলো পদ যোগ করতে পারলে, অর্থাৎ
n ➾ ∞ হলে ইনফিনিট সিরিজটার যোগফলও অসীমের দিকে চলে যাবে, কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যার দিকে কনভার্জ করবে না।

কনভার্জেন্ট আর ডাইভার্জেন্ট সিরিজ তো বুঝা গেল। কনভার্জেন্ট সিরিজের আবার দুইটা টাইপ রয়েছে। একটা হচ্ছে অ্যাবসলিউটলি কনভার্জেন্ট সিরিজ, আরেকটা হচ্ছে কন্ডিশনালি কনভার্জেন্ট সিরিজ।

৩.
ধরা যাক, ΣUᵢ = U₁+U₂+U₃+... একটি কনভার্জেন্ট সিরিজ। এই সিরিজের সবগুলোর পদের পরম মান যোগ করলে নতুন আরেকটি ইনফিনিট সিরিজ পাওয়া যায়।
Σ|Uᵢ| = |U₁|+|U₂|+|U₃|+...
এই নতুন সিরিজটিও যদি কনভার্জেন্ট হয় তাহলে মূল সিরিজ তথা
ΣUᵢ = U₁+U₂+U₃+... সিরিজটিকে বলা হবে অ্যাবসলিউটলি কনভার্জেন্ট সিরিজ।

আর সবগুলো পদের পরম মান নিয়ে পাওয়া
Σ|Uᵢ| = |U₁|+|U₂|+|U₃|+... এই সিরিজটি যদি ডাইভার্জেন্ট হয় তাহলে বলা যাবে মূল সিরিজটা কন্ডিশনালি কনভার্জ করে।
পাঠক, এই সংজ্ঞাদুটো মাথায় গেঁথে নিন। গেঁথে নেওয়া শেষ? তাহলে সামনে আগাই।

বলুন তো Alternating harmonic series টি কী ধরনের কনভার্জেন্ট সিরিজ? এই সিরিজের সবগুলো পদের পরম মান নিয়ে প্রাপ্ত নতুন সিরিজটা হচ্ছে : 1+(1/2)+(1/3)+...
এই সিরিজটা অতি পরিচিত harmonic series যেটি ডাইভার্জেন্ট। তাহলে Alternating harmonic series টা কন্ডিশনালি কনভার্জেন্ট সিরিজ।

যে কথাটা বলার জন্য এতক্ষণ এসব "অ্যাবসলিউটলি আর কন্ডিশনালি কনভার্জেন্ট সিরিজ" কপচাচ্ছিলাম সেটা বলার সময় এসে গেছে।
অ্যাবসলিউটলি কনভার্জেন্ট সিরিজের একটা বৈশিষ্ট্য হচ্ছে এই সিরিজের পদগুলোকে যেভাবে খুশি সাজানো যাবে, এতে যোগফলের কোনো হেরফের হবে না। অর্থাৎ এ ধরনের সিরিজে যোগফল অপরিবর্তিত রেখে পদগুলোর অবস্থান পরিবর্তন করা যাবে।
অপরদিকে কন্ডিশনালি কনভার্জেন্ট সিরিজের পদগুলোর একটা বিন্যাসের জন্য যে যোগফল পাওয়া যাবে, পদগুলোকে আগে-পরে করে নতুন ভাবে সাজানো হলে যোগফলটা আমূল পাল্টে যেতে পারে; আগের যোগফল এবং নতুন যোগফলটা তখন আর সমান হবে না ! অথচ আমরা 2=1 প্রমাণের জন্য এই নিষিদ্ধ কাজটিই করেছিলাম। যে সিরিজটা নিয়ে আমরা এমন ভজঘট পাকিয়েছিলাম, Alternating harmonic series টার কথা বলছি, সেটার অসীমতক সমষ্টি ln 2 (কমেন্টে একটা ছবি আছে। চেক করুন)।
যখন আমরা এই সিরিজটার পদগুলোকে 2 দিয়ে গুণ করে ভিন্নভাবে সাজিয়েছিলাম তখন এমন একটা নতুন বিন্যাস পেয়েছিলাম যার মান মোটেই 2*ln2 নয়।
অর্থাৎ, সেই প্রমাণে
2-1+(2/3)-(1/2)+(2/5)-(1/3)+(2/7)-(1/4)+(2/9)-(1/5)+... =2*ln2
হলেও পদগুলোকে সাজানোর পর
(2-1)-1/2+(2/3 – 1/3)-1/4+(2/5 – 1/5)-1/6+...≠2*ln2
হয়ে যায়।

এবার তাহলে সেই উদ্ভট প্রমাণের গলদটা খুঁজে পাওয়া গেল। কিন্তু এতে রিমানের অবদান কই? পিকচার আভি বাকি হ্যায়! কন্ডিশনালি কনভার্জেন্ট সিরিজের যে বৈশিষ্ট্যটা বললাম সেটা তো প্রমাণ করতে হবে।

৪.
এবার লেখার মূল বিষয়ে আসি− রিমান রিঅ্যারেঞ্জমেন্ট থিওরেম।
আপনি আপনার পছন্দ মত যেকোনো একটা বাস্তব সংখ্যা M বেছে নিন। এই থিওরেম অনুযায়ী একটি কন্ডিশনালি কনভার্জেন্ট সিরিজকে এমনভাবে সাজানো যাবে যেন এর যোগফল M হয়। আশ্চর্য হলেও সত্যি, কন্ডিশনালি কনভার্জ করে এমন একটা সিরিজের পদগুলোকে নতুনভাবে সাজিয়ে আপনি আপনার পছন্দ মত যেকোনো সমষ্টি বের করতে পারবেন।

এখন রিমানের থিওরেমটা প্রমাণ করার পালা। প্রমাণটা তিন ধাপে সম্পন্ন করব।
১ম ধাপ ➙ একটা কন্ডিশনালি কনভার্জেন্ট সিরিজ দুইটা ইনফিনিট সিরিজের সমন্বয়ে গঠিত হয়। তার মধ্যে একটা সিরিজের পদগুলো সব ধনাত্মক, অপর সিরিজের সব পদ ঋণাত্মক।
২য় ধাপ ➙ সেই দুইটা ইনফিনিট সিরিজই ডাইভার্জেন্ট।
৩য় ধাপ ➙ এই ধাপে আমরা থিওরেমের মূল স্টেটমেন্টটা প্রমাণ করব।

১ম ধাপ:
এই ধাপটা আমরা কন্ট্রাডিকশন দিয়ে প্রমাণ করব। অর্থাৎ প্রথমে যে জিনিসটা প্রমাণ করতে চাচ্ছি সেটার উল্টো স্টেটমেন্টটা ধরে নিব এবং প্রমাণ করে দেখাব যে আমাদের ধরে নেওয়া স্টেটমেন্টটা ভুল।

তাহলে শুরু করি।
একটি কন্ডিশনালি কনভার্জেন্ট সিরিজ Σaₙ এর কথা চিন্তা করা যাক যার সবগুলো পদ ঋণাত্মক এবং সিরিজটার সমষ্টি -x। (এটাই আমাদের ধরে নেওয়া স্টেটমেন্ট)
Σaₙ=(-a₁)+(-a₂)+(-a₃)+.....=-x

তাহলে এই সিরিজটার সবগুলো পদের পরম মান নিয়ে যে নতুন সিরিজটা পাওয়া যাবে তার সমষ্টি হবে x।
Σ|aₙ|=|(-a₁)|+|(-a₂)|+|(-a₃)|+...=|-x|=x

যেহেতু পরম মান নিয়ে পাওয়া এই নতুন সিরিজটাও কনভার্জেন্ট (কনভার্জেন্ট কারণ এই নতুন সিরিজটারও একটা নির্দিষ্ট সমষ্টি পাচ্ছি), তাই Σaₙ সিরিজটা সংজ্ঞা অনুযায়ী কন্ডিশনালি কনভার্জেন্ট হতে পারে না , বরং এটা অ্যাবসলিউটলি কনভার্জেন্ট সিরিজ।
এখান থেকে বলা যায়, আমাদের ধরে নেওয়া স্টেটমেন্টটা ভুল অর্থাৎ একটা কন্ডিশনালি কনভার্জেন্ট সিরিজের সবগুলো পদ ঋণাত্মক হবে না।

একইভাবে প্রমাণ করা যায় যে, কন্ডিশনালি কনভার্জেন্ট কোনো সিরিজের সবগুলো পদ ধনাত্মকও হতে পারে না। অতএব, কন্ডিশনালি কনভার্জেন্ট সিরিজে ধনাত্মক ও ঋণাত্মক উভয় প্রকার পদই থাকবে। আদতে উভয় প্রকার পদই অসীম সংখ্যক থাকবে।

এই ধাপের সারকথা হচ্ছে কন্ডিশনালি কনভার্জেন্ট Σaₙ সিরিজটি একটি ধনাত্মক ইনফিনিট সিরিজ Σbₙ⁺ এবং একটি ঋণাত্মক ইনফিনিট সিরিজ Σcₙ⁻ এর কম্বিনেশনে গঠিত।
অর্থাৎ,
Σaₙ=Σbₙ⁺ + Σcₙ⁻
=> a₁+a₂+a₃+...=(b₁+b₂+b₃+...)+(c₁+c₂+c₃+...)

[এখানে c₁,c₂,c₃,... এই পদগুলো ঋণাত্মক]

২য় ধাপ:
ধনাত্মক আর ঋণাত্মক সিরিজ দুইটা কনভার্জেন্ট হবে নাকি ডাইভার্জেন্ট? এর চারটা সম্ভাব্য উত্তর হতে পারে।
১. ধনাত্মক সিরিজটা কনভার্জেন্ট, ঋণাত্মক সিরিজটা
ডাইভার্জেন্ট।
২. ধনাত্মক সিরিজটা ডাইভার্জেন্ট, ঋণাত্মক সিরিজটা
কনভার্জেন্ট।
৩. উভয় সিরিজই কনভার্জেন্ট।
৪. উভয় সিরিজই ডাইভার্জেন্ট।

ইনফিনিট সিরিজের একটা নিয়ম হচ্ছে একটি কনভার্জেন্ট সিরিজ এবং একটি ডাইভার্জেন্ট সিরিজের সমষ্টি ডাইভার্জেন্ট হবে। কিন্তু আমাদের কাছে যে দুইটা সিরিজ Σbₙ⁺ আর Σcₙ⁻ আছে তাদের সমষ্টি তো কনভার্জেন্ট। তাই প্রথম দুইটা সম্ভাবনা বাদ।

তৃতীয় সম্ভাবনাটা যাচাইয়ের জন্য ধরি Σbₙ⁺ আর Σcₙ⁻ সিরিজ দুইটি কনভার্জেন্ট।
এবং Σbₙ⁺=S এবং Σcₙ⁻=−X
তাহলে মূল সিরিজ অর্থাৎ Σaₙ এর পরম মান নিয়ে পাওয়া নতুন সিরিজটা হল:
Σ|aₙ|=Σ|bₙ⁺| + Σ|cₙ⁻|=|S|+|−X|=S+X
দেখা যাচ্ছে যে, Σbₙ⁺ আর Σcₙ⁻ সিরিজ দুইটা কনভার্জেন্ট হলে মূল সিরিজ এবং তার পরম মান নিয়ে পাওয়া সিরিজ দুইটাই কনভার্জেন্ট। তখন মূল সিরিজটা আর কন্ডিশনালি কনভার্জেন্ট থাকবে না, অ্যাবসলিউটলি কনভার্জেন্ট হয়ে যাবে।
তাই তৃতীয় সম্ভাবনাটাও নাকচ করে দেওয়া যায়।
তাহলে আর বাকি রইল একটাই উত্তর− Σbₙ⁺ আর Σcₙ⁻ উভয় সিরিজই ডাইভার্জেন্ট।
প্রমাণের ২ টা ধাপ শেষ।

৩য় ধাপ:
মনে করি, যেকোনো একটা বাস্তব সংখ্যা M। Σaₙ=a₁+a₂+a₃+... সিরিজটাকে এমন ভাবে সাজাতে হবে যেন নয়া সিরিজটার যোগফল M হয়।

যেহেতু Σbₙ⁺ সিরিজটি ডাইভার্জেন্ট তাই এর পদগুলো যোগ করতে থাকলে যোগফলটা ক্রমশই ∞ 'র দিকে অগ্রসর হতে থাকবে। কিন্তু M তো একটি সসীম সংখ্যা।
তাই Σbₙ⁺ এর পদগুলো প্রথম থেকে একটা একটা করে যোগ করতে থাকলে একসময় যোগফলটা M থেকে বেশি হয়ে যাবে।
মনে করি, এই সিরিজের প্রথম k₁ টা পদের সমষ্টি M থেকে বেশি হয়। ধরি,
b₁+b₂+b₃+...+bₖ₁=S₁
তাহলে, S₁>M

আমাদের কাঙ্খিত সংখ্যা তো M। তাই এখন যোগফলটা কমাতে হবে। কমানোর জন্য ঋণাত্মক সংখ্যা লাগবে। ঋণাত্মক সংখ্যা কিন্তু আমাদের কাছে আছে। Σcₙ⁻=c₁+c₂+c₃+... এই সিরিজের সবগুলো পদই তো ঋণাত্মক।
এখন ধরা যাক S₁ এর সাথে Σcₙ⁻ সিরিজের প্রথম
k₂ টা পদ যোগ করলে যোগফলটা M এর চেয়ে কমে যায়।
মনে করি, Σcₙ⁻ সিরিজের প্রথম k₂ টা পদের সমষ্টি
c₁+c₂+c₃+...cₖ₂=S₂
তাহলে S₁+S₂ < M

এখন যোগফলের মান M এর চেয়ে ছোট হয়ে গেল। তাই আবার যোগফল বাড়াতে হবে। এজন্য Σbₙ⁺ সিরিজের কিছু পদ যোগ করতে হবে। যেহেতু প্রথম bₖ₁ টা পদ প্রথমেই ব্যবহার করে ফেলেছি, তাই এর পরবর্তী পদ তথা bₖ₁₊₁ থেকে যোগ করা শুরু করব। মনে করি, S₁+S₂ এর সাথে bₖ₁₊₁ থেকে bₖ₂ পর্যন্ত যোগ করলে যোগফলটা আবার M থেকে বেশি হয়ে যায়।
ধরি, bₖ₁₊₁ + bₖ₁₊₂ +...+bₖ₂=S₃
তাহলে, S₁+S₂+S₃>M

এরপর S₁+S₂+S₃ এর সাথে Σcₙ⁻ এর কিছু পদ যোগ করে যোগফলটা M এর চেয়ে ছোট করব, তারপর আবার Σbₙ⁺ এর কিছু পদ যোগ করে যোগফলটা পুনরায় M এর চেয়ে বড় করে ফেলব এবং এই প্রক্রিয়াটা এভাবে চলতে থাকবে। প্রত্যেক বার যোগফলটা M এর কাছাকাছি আগাবে তবে একেবারে M হয়ে যাবে না। আচ্ছা এভাবে করে আমরা অসীম পর্যন্ত যোগ করতে পারলে যোগফল কত পাব? যেহেতু
Σbₙ⁺ এবং Σcₙ⁻ এর সমন্বয়ে গঠিত আসল সিরিজটা অর্থাৎ Σaₙ কনভার্জেন্ট এবং প্রতিবারে যোগফলটা একটু একটু করে M এর দিকে অগ্রসর হচ্ছে তাই উপরে দেখানো পদ্ধতিতে অসীম পর্যন্ত সবগুলো পদ যোগ করতে পারলে সেই যোগফলটাও একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা হবে। কোন সংখ্যা? অবশ্যই M।

আমাদের প্রমাণ শেষ!

এবার আপনি একটি কন্ডিশনালি কনভার্জেন্ট সিরিজের পদগুলোকে এমনভাবে পুনর্বিন্যস্ত করতে পারেন যাতে যোগফলটা আপনার পছন্দ অনুযায়ী কোনো সংখ্যা হয়। যেকোনো বাস্তব সংখ্যা। -10,-5,0,100,369,π,e যা ইচ্ছা। ব্যাপারটা মজার না? আরেকটা মজার কথা বলি। কন্ডিশনালি কনভার্জেন্ট কোনো সিরিজের পদগুলোকে সাজিয়ে খালি নির্দিষ্ট কোনো সংখ্যা পাওয়া যাবে ব্যাপারটা এমন না। চায়লে সিরিজটাকে এমনভাবে সাজানো যাবে যাতে যোগফলটা অসীমের দিকে চলে যায়, অর্থাৎ ডাইভার্জ করে। কীভাবে হয় বলি।

আবার পূর্বের সিরিজটার কথা চিন্তা যাক−
Σaₙ=Σbₙ⁺ + Σcₙ⁻

আমরা প্রথমে Σbₙ⁺ সিরিজের অনেকগুলো পদ যোগ করব। অনেকগুলো বলতে ধরুন...কয়েক ট্রিলিয়নটা।
এরপর Σcₙ⁻ এর একটা পদ যোগ করব। তারপর আবার Σbₙ⁺ সিরিজের কয়েক ট্রিলিয়ন পদ যোগ করব।
এভাবে যোগ করতে থাকলে যোগফলটা ক্রমশই অসীমের দিকে অগ্রসর হতে থাকবে। কারণ এত এত ধনাত্মক পদের মাঝে মাঝে দুয়েকটা ঋণাত্মক পদ যোগ করাটা অনেকটা সমুদ্র থেকে এক বালতি পানি তুলে নেওয়ার মত। অসংখ্য ধনাত্মক পদের সমুদ্রে মাঝখানে মাঝখানে একটা-দুটো করে ঋণাত্মক সংখ্যা যোগ করতে থাকলেও যোগফলটার কিছু যায় আসে না, সেটা অসীমের দিকে যাবেই।
এভাবে একটা কন্ডিশনাল কনভার্জেন্ট সিরিজকে ডাইভার্জেন্ট সিরিজ বানিয়ে ফেলা যায়।

আরেকটু মজা করা যাক। Alternating harmonic series এর কথা বলেছিলাম না? সেটা যে কন্ডিশনাল কনভার্জেন্ট সিরিজ তা-তো আগেই বলেছি। এই সিরিজের যে একটি অসীমতক সমষ্টি আছে সেটি কত তাও বলেছি।

1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+...= ln 2

এখন এই সিরিজটাকে পুনর্বিন্যস্ত করে π মিলাব। (এটার ক্রেডিট Mathologer এর)

মনে করি,
Σaₙ=1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+.....
এই সিরিজটি যে দুটি ধনাত্মক আর ঋণাত্মক পদ সম্বলিত ডাইভার্জেন্ট সিরিজ নিয়ে গঠিত সে দুটো হল:
Σbₙ⁺ = 1+(⅓)+(⅕)+...
এবং Σcₙ⁻=-½-¼-⅙-...

শুরুতে Σbₙ⁺ সিরিজটার 75 টা ধনাত্মক পদ যোগ করে পাই:
1+(⅓)+...+(1/149)=3.1405
3.1405 তো π এর চেয়ে ছোট। তাহলে আরেকটা পদ যোগ করা যাক।
1+(⅓)+...+(1/149)+(1/151)=3.1471
এবার যোগফলটা π এর চেয়ে বেশি হয়েছে। তাহলে এখন Σcₙ⁻ সিরিজের পদ যোগ করে যোগফলটা কমানোর পালা। 3.1471 এর সাথে Σcₙ⁻ সিরিজের প্রথম পদ -½ যোগ করে পাই:

1+(⅓)+...+(1/151)-(½)=2.6471

এখন আবার যোগফলটা বাড়াতে হবে। এজন্য ধনাত্মক সিরিজটার পরবর্তী কিছু পদ যোগ করা যাক।

2.6471+(1/153)+(1/155)+...+(1/409)=3.1432

মাত্র কয়েকটা ধাপেই আমরা π এর দশমিকের পর দুই ডিজিট পর্যন্ত পেয়ে গেছি।

এভাবে এই প্রসেসটা চলমান রাখলে সিরিজটা π এর দিকে কনভার্জ করবে! আর যেহেতু Σbₙ⁺ এবং Σcₙ⁻ সিরিজ দুটো ইনফিনিট সিরিজ তাই তখন বলতেই পারি যে অসীম থেকে অসীম বিয়োগ করে π পেয়েছি!

Writer: Jobayet Hasan