টাওয়ার অব হ্যানয়

টাওয়ার অব হ্যানয় গণিতের খুবই বিখ্যাত এক সমস্যা। সমস্যাটি প্রথম দিয়েছিলেন ফরাসি গণিতবিদ এডমন্ড লুকাস 

চলুন সমস্যাটা আজ না হয় সমধান করা যাক।  

ওয়েট এ মিনিট….. 

সমস্যাটা সমধান করার আগে আমার মতো যারা যারা গণিতে ভীতু। যাদের কাছে গণিত এক আতঙ্কের নাম। গণিত পরীক্ষায় ফেল মারাতে আমার মতো যাদের বেদম কেলানি খাওয়া লাগে মাষ্টার মশাই থেকে তাদেরকে এই টাওয়ার অব হ্যানয় নিয়ে মজা একটা কাহিনী শুনায়। তারপর না হয় আস্তে আস্তে সমস্যাটা সমাধান করা যাবে। 

আপনাদের মাঝে যারা এই পোস্টটা পড়ছেন তাদের অনেকে হ্যানয় নামটার সাথে পরিচিত। আর যারা পরিচিত নয় তাদের বলে রাখি হ্যানয় হলো ভিয়াতনামের রাজধানীর নাম। 

টাওয়ার অব হ্যানয় বাক্যখানা শুনে এখন আপনার মনে হচ্ছে না এই সমস্যাটা বোধহয় হ্যানয় শহরের কোনো টাওয়ারকে নিয়ে গড়ে তুলা। আইফেল টাওয়ারের মতে বিখ্যাত কেনো টাওয়ার হবে বোধহয়। 

কি এমনটা মনে হচ্ছে না????

এহে… হে………

আমার ও তাই মনে হয়েছিল প্রথমে।মনে হয়েছিল টুইন টাওয়ারের মতো সুউচ্ছ কোনো দালান হবে বোধহয়। মনে মনে তখন ফন্দি আঁটছিলাস টুইন টাওয়ারের মতো করে এই টাওয়ারটাকে যদি ধবংস করে দিতে পারতাম! তখন টাওয়ার ও থাকলো না অংক ও করা লাগলো না  ( (ভাইরে ভাই কেউ আবার আমাকে জঙ্গি ভাবিয়েন না। আমি খুবই শান্ত শিষ্ট ভদ্র মানুষ।যদিও আমার মা এইটা মানতে নারাজ)) 

তো আসি টাওয়ার অব হ্যানয় এর কাছে। 

এটি হ্যানয় শহরের বিখ্যাত কোনো টাওয়ার বা দালান নয়। এই টাওয়ার অব হ্যানয় সমস্যাটির স্থান হলো বেনারসের বিখ্যাত এক মন্দির। বলা হয় বেনারসের ঐ মন্দিরটায় একটি পিতলের প্ল্যাটফরম আছে যার উপর তিনটি হিরার দন্ড রয়েছে যার মধ্যে একটি দন্ডে আছে ৬৪টি সোনার  চাকতি। চাকতিগুলো বড় থেকে ছোট আকারে সাজানো আছে। অর্থ্যাৎ সবচেয়ে বড় চাকতিটি সবার নিচে। তার উপর একটু ছোটটা তার উপর একটু ছোটটা। সবার উপরে রয়েছে সবথেেকে ছোট চাকতিটি। 

পৌরাণিক কাহিনীতে বলা হয় হিন্দু ধর্মালম্বীদের দেবতা ব্রহ্মা চাকতিগুলো একটি দন্ড হতে আপর দন্ডতে সরানোর নির্দেশ দিয়েছেন। সবগুলো চাকতি সরাতে পারলে তিনি যেমনি সৃষ্টি করছেন এই মহাবিশ্ব তেমনি তিনি ধবংস করে দিবেন এই পুরো বিশ্বজগত। 

৬৪ টি চাকতি সরানো কোনো বিষয় হলো!!! আমি তো ১ মিনিটেই সরিয়ে দিতে পারবো। 

কি এমনটাই ভাবছেন তো??? 

মজার ব্যাপার হলো দেবতা ব্রহ্মার নির্দেশমতো পুরোহিতেরা এখনো সবগুলো চাকতি সরাতে পারেনি। 

কিন্তু এতিদিনেও কেন পারলো না?? এক মিনিটের কাজ কেন তাদের এতদিন লাগছে??? 

রুখো জারা সবর করো। আগে দেবতা ব্রহ্মার পুরো নির্দেশনা শুনে নিন। 

দেবতা ব্রহ্মা একটা দন্ড থেকে অন্য আরেটি দন্ডে চাকতি সরানোর নির্দেশনা দিয়েছিলেন। সেই সাথে তিনি দুটো নিয়ম ও বেঁধে দিয়েছিলেন চাকতি সরানোর ব্যাপারে। 

নিয়ম দুইটি হলো 

১| একবারে একটা চাকতি সরানো যাবে। 

২|সাজানোর সময় কোনো চাকতিকে এর থেকে ছোট চাকতির উপর বসানো যাবে না। 

এই নিয়মগুলো মেনে যেদিন সব চাকতি সরাতে পারবে সেই দিন 

বুম…ম...ম….. 

পুরো মহাবিশ্ব ধবংস। 

আপনার হয়তো এখন মনে হচ্ছে আরেহ এইটা কোনো বিষয় হলো। সামান্য দুইটা নিয়ম মেনে চাকতি সরাতে কতক্ষণ বা সময় লাগবে??? 

বড় জোর ১ ঘন্টা। 

আসলেই কি তাই!!!

চলুন গাণিতিকভাবে দেখে নেওয়া যাক কতক্ষণ সময় লাগতে পারে….

প্রথমে ৬৪ টি  চাকতির চিন্তা না করে দুইটা চাকতি নিয়ে সমস্যাটা সমধান করার চেষ্টা করি। 

মনে করুণ আপনার কাছে x ও y নামের দুইটি চাকতি আছে এখানে y>x। x, y চাকতি দুটি ১নং দন্ডে বসানো আছে। 

আপনি কি করলেন ১নং দন্ড থেকে x চাকতিটি ২ নং দন্ডে রাখলেন। 

বাকি y চাকতিটি তুলে ৩ নং দন্ডে রাখলেন। 

y চাকতি তো ৩ নং দন্ডে চলে গেল এবার আপনার কাজ x চাকতিকে ও ৩ নং দন্ডে নিয়ে যাওয়া।আপনি তখন ২ দন্ডে অবস্থানরত x চাকতিটিকে উঠিয়ে ৩ নং দন্ডে দিলেন। আপনার কাজ হয়ে গেল শেষ। 

তাহলে দেখুন আপনি চাকতি দুইটিকে ৩ নং দন্ডে নিতে মোট চেষ্টা চালিয়েছেন ১+১+১=৩ বার (নিচের চিত্র গুলো খেয়াল করুণ)  

এখন ধরুন আপনার কাছে দুইটা নয় বরং তিনটি চাকতি রয়েছে। তারা হলো x,y,z। যেখানে x<y<z।  এখন আমরা একটা কাজ করি। z কে ১নং দন্ডে বসিয়ে রাখি x ও y চাকতি দুইট্কে ২ নং দন্ডে বসানোর চেষ্টা করি। 

দুই নং দন্ডে বসানোর জন্য আগের মতো চেষ্টা করতে হবে। প্রথমে x কে নিয়ে ৩ নং দন্ডে বসাবেন তারপর y কে ১নং দন্ড থেকে তুল নিয়ে ২ নং দন্ডে বসিয়ে দিবেন। এরপর x কে ৩নং দন্ডটা থেকে তুলে নিয়ে ২ নং দন্ড অর্থ্যাৎ y চাকতিটির  উপর বসিয়ে দিবেন। 

তো x,y চাকতিদ্বয়কে  ২ নং দন্ডে আনতে মোট কত বার চেষ্টা করা লাগেছে??? 

অবশ্যই ৩ বার 

x,y চাকতি দুইটিকে তো ২ নং দন্ডে আনলেন। কিন্তু x,y,z চাকতি তিনটিকে তো ৩ নং দন্ডে আনা লাগবে কিভাবে আনা যায়???  

খুবই সোজা z চাকতিটি যেটা ১নং দন্ডে বসে আছে তাকে উঠিয়ে নিয়ে  সোজা বসিয়ে দিন ৩ নং দন্ডে। এবার x,y আনার পালা। 

x,y কে ৩ নং দন্ড আনাটা খুবই সোজা। উপরে ঠিক যেভাবে x,y চাকতি দুইটাকে ২ নং দন্ড নিয়ে গেছিলেন  ঠিক সেভাবে ৩বার চেষ্টা করে তাদেরকে ৩ নং দন্ডে স্থাপন করবো। ব্যাস কাজ শেষ। 

তাহলে x,y,z চাকতি তিরটাকে ৩ নং দন্ডে আনতে ৩+১+৩ =৭ বার চেষ্টা করতে হয়েছিল। 

★এবার যদি চারটি চাকতি থাকতো তবে???

তবে মোট চেষ্টার হতো ৭+১+৭=১৫ বার 

★চাকতি যদি ৫ টি হতো তবে ১৫+১+১৫ =৩১ বার চেষ্টা করার পর ৩ নং দন্ডে সব চাকতি আনতে সফল হতাম 

এইবার ধরি, 

৬৪ টি চাকতি T64 বার চেষ্টার পর ৩ নং দন্ডে আনা যাবে। 

আমার আগেই দেখিয়েছিলাম 

★২ টি চাকতির ক্ষেত্রে চেষ্টা...

  T2=3 

বা,T2=2^2-1 

★৩ টি চাকতির ক্ষেত্রে চেষ্টা… 

T3=3+1+3

বা, T3=2*3+ 1 

বা,T3=2(2^2 -1)+1 

বা, T3 =2^3 -1

★ ৪ টি চাকতির ক্ষেত্রে… 

T4= 2^4 -1 

সুতরাং ৬৪ টি চাকতির ক্ষেত্রে T64=2^64 -1 

দাঁড়ান একটা হিসাব দেখায়  2^10 =1024 

একে আমরা হিসেবের সুবিধার জন্য 10^3 ধরি তাহলে 2^64 -1 = 2^4 * 2^60 -1 

বা, 16* 10 ^18 -1 

এখন আমাদের যদি একটি চাকতি সরাতে ১ সেকেন্ড সময় লাগে (16*10^18 -1)  বার চাকতি সরাতে সময় লাগবে (16*10^18 -1) সেকেন্ড সময়। 

বিশাল এক সময়ের ব্যাপার এটা।

Nusrat Jahan Mumu