কমপ্লেক্স নাম্বার

 

-------------------------------- ১ ------------------------------------

আমাদের চেনাজানা সংখ্যাগুলো ধনাত্মক হয়, ঋণাত্মক হয়, শুন্য হয়, ভগ্নাংশ হয়। এর বাইরেও যে সংখ্যা থাকতে পারে তা দীর্ঘদিন কেউ কল্পনা করে নি। √2 যে অমূলদ সেটি বের করার অপরাধে একজনকে মৃত্যুবরণও করতে হয়েছে। তো এরপর মানুষজন বাস্তব সংখ্যা বুঝতে পারলো। আমরা এদেরকে যোগ করি, গুণ করি, কোন সমস্যা হয় না! সমস্যা শুরু হয় যখন বর্গমূল করি। এক্ষেত্রে অঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল সহজেই সম্ভব, কিন্তু সমস্যা বাঁধে ঋণাত্মক সংখ্যার বেলায়।
x²-1=0 এর সমাধান খুব সোজা, কিন্তু x²+1=0 কে আর বাস্তব সংখ্যায় সমাধান করা যায় না! কারণ, সকল বাস্তব সংখ্যার বর্গ অঋণাত্মক। আর এই সমস্যা দূর করতে চলে এলো জটিল সংখ্যা! এর একক হল i=√(-1), অর্থাৎ x²+1=0 এর সমাধান x=±i

প্রত্যেক জটিল সংখ্যাকে a+bi আকারে প্রকাশ করা যায়। এখানে a,b হল বাস্তব সংখ্যা। অর্থাৎ প্রত্যেক সংখ্যায় একটি বাস্তব ও একটি কাল্পনিক অংশ থাকে। যদিও কাল্পনিক বলাটা ঠিক না, কারণ 1,2,3 সংখ্যাগুলোও মানুষের কল্পনাতেই কেবল বিদ্যমান! b=0 হলে জটিল সংখ্যা পরিচিত বাস্তব সংখ্যায় পরিণত হয়। এর মানে, বাস্তব সংখ্যাও জটিল সংখ্যা, তবে জটিল সংখ্যা বেশি জেনারেল [তবে এর কারণে আমরা খুব সুন্দর একটা প্রোপার্টি হারিয়েছি: দুইটি কমপ্লেক্স নাম্বারকে ছোট বড় কম্পারিজন করা যায় না!]
আগে একটা সংখ্যারেখায় সব সংখ্যাকে দেখানো হতো, জটিল সংখ্যায় লাগে একটা সমতল- কমপ্লেক্স প্লেন! এই প্লেনে প্রত্যেকটা বিন্দু একেকটা সংখ্যা! একমাত্রিক সংখ্যারেখার কোন সংখ্যাকে -1 দিয়ে গুণ করলে তা যেমন 180° ঘুরে, তেমনি এই প্লেনে i গুণ করলে এন্টিক্লকওয়াইজ 90° কোণে ঘুরে যায়! আর দুবার i গুন করলে কোন সংখ্যা আর্গন্ড চিত্রে ঘুরে এন্টিক্লকওয়াইজ 2×90°=180° ( আর এইজন্যই i²=-1)!

বীজগণিতে এই জটিল সংখ্যার প্রবর্তনে বিপ্লব ঘটলো! এখন আমরা জানি, কোন কিছু square root থাকে 2টা, cubic root থাকে 3টা, এরকম nth root থাকে n সংখ্যক! যেমন, -16 এর চতুর্থমূল ±2(1±i) এই চারটি! প্রকৃতপক্ষে যেকোন n ঘাতের সমীকরনের পুনরাবৃত্তিসহ n টি মূল থাকে, যা গাউসের সূত্র নামে পরিচিত- এটি সম্ভব হয়েছে কেবল এই কমপ্লেক্স নাম্বারের জন্যই।

-------------------------------- ২ ------------------------------------

আপনাদের অনেকের ধারণা জটিল সংখ্যা হলো কাল্পনিক কিছু। বাস্তবে এর বুঝি কোন প্রয়োগ নেই। কিংবা বিষয়টা কেবলই গাণিতিক। সত্যিই কি তাই?
ঠিক আছে, প্রথমেই একটা উদাহরণ দেখা যাক।

আমরা জানি সরল ছন্দিত স্পন্দনের ব্যবকলনীয় সমীকরণ d²x/dt²+w²x=0
এই সমীকরণকে যেসকল x=x(t) সিদ্ধ করে তারা প্রত্যেকেই সরল ছন্দিত স্পন্দন প্রকাশ করতে পারে!
এবার ধরি x=e^(iwt)
কাজেই dx/dt= iw.e^(iwt)=(iw)x
অতএব d²x/dt²=(iw).(iw).x
এখন যেহেতু i²=-1, কাজেই d²x/dt²+w²x=0 (অর্থাৎ আমরা সমাধান গেস করতে পেরেছিলাম! কাজেই x=e^(iwt) সরল ছন্দিত স্পন্দন প্রকাশ করে! কাজেই এটি অবশ্যই একটি পিরিয়ডিক ফাংশন! অথচ এটি একটি কমপ্লেক্স নাম্বার!! ব্যাপারটা আরেকটু তলিয়ে দেখা যাক।

আমরা এটাও শিখেছি জটিল সংখ্যার পোলার আকার z=r(cosø+isinø) , যেখানে r হলো |z| , ø হলো arg(z), এই r ও ø সহজেই বের করা যায়।
এখন দুটি জটিল সংখ্যা Z1, Z2 ধরি।
আমরা জানি জটিল সংখ্যা দুটি গুণ বা ভাগ করে প্রাপ্ত জটিল সংখ্যার মডুলাস যথাক্রমে সংখ্যাদ্বয়ের মডুলাসের গুণফল বা ভাগফলের সমান।
এটা সহজেই পোলার আকার থেকে অনুমেয়।

এখান থেকে এটাও বুঝা যায় মডুলাসের পার্ট সেপারেবল।
তাহলে ধরি F(ø)=cosø+isinø
তাহলে F'(ø)=-sinø+icosø= i(cosø+isinø)
F'(ø)/F(ø)= i
ইন্টিগ্রেট করে পাই ln(F(ø)=iø+c
কাজেই F(ø)=A.e^(iø)= cosø+isinø
এখন ø=0 বসিয়ে পাই, A=1
সুতরাং cosø+isinø=e^(iø)
এটা বিখ্যাত অয়লারের ফর্মুলা !!!!

তাহলে যেকোন জটিল সংখ্যাকেই লেখা যায় z=r.e^(iø) আকারে!
এখান থেকে সহজেই দেখা যায় arg(z1.z2)= arg(z1)+arg(z2)

-------------------------------- ৩ ------------------------------------

আরেকটা মজার জিনিস দেখবো। sinø,cosø এর মৌলিক পর্যায় 2π
কাজেই মুখ্য আর্গুমেন্ট ø হলে z= r.exp(ø+2nπ)i)
z=1 হলে r=1, ø=0
অতএব এককের ঘনমূল 1^⅓= e^(2nπi)/3
n=0,1,2,3,.... বসালে দেখতে পাবো জটিল মূলগুলো যথাক্রমে 1,w,w²,1,......
তার মানে এর তিনটি ঘনমূল আছে!

অপরদিকে এর মাধ্যমে লগারিদমকে ভিন্ন চোখে দেখা যায়!
ln(z)=ln(r)+ i.(2nπ+ø)
যেমন z=-1 বসালে ln(-1)= i.(2nπ+π)= (2n+1).πi
আবার ln(1)= 2nπi
এর অর্থ লগারিদমেরও অসংখ্য মান আছে! আমরা এতোদিন ln(1)=0 জানতাম, যেটা আসলে এর একমাত্র বাস্তব মান! বাকি সব কমপ্লেক্স মান!

আরেকটি মজার জিনিস দেখা যাক,
cosø+isinø=e^(iø)
ø এর স্থলে -ø বসালে
cosø-isinø=e^(-iø)
কাজেই
cosø=½(exp(iø)+exp(-iø)) , sinø=-½i(exp(iø)-exp(-iø))
আর এটিই cosø, sinø এর আধুনিক সংজ্ঞা!
কষ্ট করে একটু হিসেব করলেই দেখবেন cos²ø+sin²ø=1 হচ্ছে!

এবার সবশেষে একটি দারুন ব্যাপার দেখাবো!
cosø=2 কি হতে পারে?
ধরি z=exp(iø), তাহলে exp(-iø)=1/z
কাজেই cosø= ½(z+1/z)=(z²+1)/(2z)=2
বা z²-4z+1=0
সুতরাং z=2±√3
বা ø= -i.ln(2±√3)
হ্যাঁ, ø জটিল হলে ঠিকই cosø=2 হতে পারে!!

অতএব প্রচলিত সব বাধাকে ভুলে যেতে জটিলকে ভালোবাসুন ❤

আমরা জানতাম যে ln(-1) একটা অসংজ্ঞায়িত রাশি! কিন্তু এখন জানি যে এটিও জটিল সংখ্যা! তবে এর অসংখ্য জটিল মান আছে! আর ln(2) এরও অসংখ্য মান আছে, তবে এগুলোর একটি বাস্তব 
sin(x)=2 এর সমাধানও কমপ্লেক্স নাম্বার দিয়ে সম্ভব। এমনকি 1ⁿ=2 ও হতে পারে যখন n কমপ্লেক্স! অথচ আগে এমনটা কল্পনাও করা যেতো না!
এরকম অনেক অসম্ভবকে সম্ভব করেছে জটিল সংখ্যা! শুধু গণিত না, ফিজিক্সেও এর প্রয়োগ আছে! কোয়ান্টাম মেকানিক্সে ওয়েভ ফাংশন আবশ্যিকভাবে কমপ্লেক্স! (কারণ টাইম ডিপেন্ডেন্ট শ্রোডিঙ্গার ইক্যুয়েশন কমপ্লেক্স)। আমরা এসি সার্কিটের সব ক্যালকুলেশন করি কমপ্লেক্স নাম্বার দিয়ে। কমপ্লেক্স নাম্বার আছে বলেই ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের মতো জোশ জিনিস আছে, আর তা আছে বলেই আমরা এত ডাটা এক জায়গা থেকে আরেক জায়গায় পাঠাইতে পারতেসি, এত এত ডাটা এত কম জায়গায় স্টোর করতে পারতেসি। কাজেই জটিল সংখ্যা কেবল তত্ত্বীয় না, এটিও বাস্তব সংখ্যার চেয়েও বেশি বাস্তব সংখ্যা ভালোবাসুন জটিল সংখ্যাকে!

সবশেষে পাঠকের জন্য কুইজ:
১। x কত হলে 1^x=2 হতে পারে?
২। প্রমাণ করুন যে e^(iπ)+1=0
৩। z একটি কমপ্লেক্স নাম্বার হলে sin²z+cos²z=1 এটা কি সত্য হবে?
৪। i^i এর কোন real value আছে কি?
৫। যদি ছবির i জটিল সংখ্যার একক হয়ে থাকে তাহলে পুরো ছবিই ভুল। কেনো বলেন তো!

একটা ফান ফ্যাক্ট দিয়ে লেখা শেষ করছি। ইঞ্জিনিয়ারিং এ আমরা i এর বদলে j লিখি কারণ i আমাদের কাছ কারেন্টের সিম্বল 😝
আজ এই পর্যন্তই।

Writer: Syed Emad Uddin Shubha