আমার এই লেখাটা তাদের জন্য, যারা এবারই প্রথম গণিত উৎসবে অংশগ্রহণ করতে চলেছে। নতুনদের একটা বিশাল অংশই problem solving সম্পর্কে তেমন কিছুই জানে না। তাদেরকে problem solving এর সাথে পরিচয় করিয়ে দেওয়ার জন্যই ক্ষুদ্র পরিসরে এই লেখাটা। অন্তত একজন আমার এই লেখার মাধ্যমে উপকৃত হলেই নিজেকে ধন্য মনে করব।
এখানে আমি ক্ষুদ্র পরিসরে লিখেছি, আরো বৃহৎ পরিসরে জানতে হলে যেসব বই পড়তে পারেন, ওয়েবসাইট দেখতে পারেন, তা সম্পর্কে আমি speacial পর্বে লিখব। আর কোথাও বুঝতে সমস্যা হলে অবশ্যই messenger এ যোগাযোগ করবেন, আমি সর্বাত্মক সহযোগিতার চেষ্টা করব।
Problem solving এর তিনটা উপায় আছে। এগুলোর বিষয়ে আলোচনা শুরু করার আগে বলে রাখি, এখানে problem বলতে আমি বোঝাচ্ছি এমন কিছু, যা প্রমাণ করতে হবে। একটা সহজ উদাহরণ দেই:
প্রমাণ কর, a থেকে b পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যা গুলোর যোগফল (b²+b+a-a²)/2
এরকম সমস্যা গুলো সমাধান করার উপায় গুলোকেই বলে problem solving techniques। এরকম উপায় আছে ৩ টি। যথা:
i)deduction,
ii)induction,
iii)contradiction.
(বাংলা নামগুলো মনে রাখার দরকার নাই।:))
Deduction পদ্ধতিতে শুরুতে দেখতে হবে কি কি তথ্য দেওয়া আছে, তারপর সেখান থেকে আরও যত তথ্য পাওয়া যায়, সব বের করতে হবে। এরপর দেখতে হবে কি প্রমাণ করতে বলা হয়েছে। চেস্টা করতে হবে সেটাকে কোনভাবে সরলীকরণ করে একটা সহজ form এ আনার। একাধিক form পেলে সব লিখে নিতে হবে। এরপর কাজ brain এর। একে একে সব case নিয়ে চিন্তা করতে হবে। এমন ও হতে পারে, প্রথম বারেই বের হয়ে যাবে, আবার এমন ও হতে পারে, যে শেষ বারেও বের হবে না। পরবর্তী ক্ষেত্রে আরও case আছে, না কি, তা দেখতে হবে। যদি সব case নিয়ে চিন্তা করেও প্রমাণ না করা যায়, তাহলে দরকার হবে বাকি দুই পদ্ধতি নিয়ে। সেগুলোর ব্যাপারে আমরা অন্যদিন আলোচনা করব।
.
জানি, এই পদ্ধতি অনেক boring, কিন্তু আপনি জানেন কি, যে Sherlock Holmes এই পদ্ধতি ব্যবহার করে অপরাধী শনাক্ত করতেন?
উপরের problem টা একবার দেখা যাক, দেওয়া আছে,
প্রমাণ কর, a থেকে b পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর যোগফল (b²+b+a-a²)/2
প্রমাণ:
শুরুতেই দেখি, আমাদের কি কি তথ্য দেওয়া আছে, আর তা থেকে আমরা কি কি তথ্য বের করে আনতে পারি–
a থেকে b পর্যন্ত সংখ্যা গুলোর যোগফল বের করতে হবে। একে আমরা গাণিতিক ভাষায় লিখতে পারি - (a+(a+1)+...+b)। পেয়ে গেলাম একটা নতুন তথ্য।
এখন, আমরা আসি কি বের করতে হবে, তা নিয়ে, আমাদের বের করতে হবে যোগফল, আর দেখাতে হবে, তা (b²+b+a-a²)/2 এর সমান।
এখন, আমরা যোগফল সম্পর্কে কি কি সুত্র জানি? এক্ষেত্রে, আমাদের গাউস এর সুত্র এর কথা মনে আসতে পারে। তাহলে সেই সুত্র দিয়ে চেস্টা করে দেখি,
এখন, গাউস এর সুত্র অনুযায়ী, যোগফল =(প্রথম পদ+শেষ পদ)×পদসংখ্যা/২
আমরা প্রথম পদ জানি a, শেষ পদ b। আর যেহেতু এটা ক্রমিক সংখ্যার যোগফল, তাহলে অবশ্যই এখানে পদসংখ্যা হবে পরিসর, তথা (b-a+1)। এখন এগুলো বসিয়ে দেখি-
=(a+b)(b-a+1)/2
এখান থেকে একটু calculation করলেই ডানপক্ষ পাওয়া যাবে।
deduction এর জন্য দরকার জ্ঞান। এই পদ্ধতিতে প্রচুর পূর্ব-ধারণা থাকতে হবে। এজন্য প্রচুর বই পড়তে হবে, জানতে হবে, তাহলেই এই পদ্ধতিতে সমাধান করা যাবে। যেমন, ওপরের উদাহরণে গাউস এর সুত্র জানা থাকতে হয়েছে। আমাদের পাঠ্যপুস্তক গুলোয় বেশিরভাগ প্রমাণ ই deduction এর মাধ্যমে করা হয়েছে। জ্যামিতিতে বেশিরভাগ সমস্যা সমাধান করা হয় এই উপায়ে।
To err is human। ভুলত্রুটি থাকলে ক্ষমা করে অবশ্যই কমেন্টে জানাবেন, জানালে অনেক উপকৃত হব, ধন্যবাদ।
Induction হল সবচাইতে সহজ problem solving technique। আর আমিও যতদূর সম্ভব সহজ করেই বুঝিয়েছি। তবুও এটি বুঝতে অনেকেরই কিছুটা সমস্যা হতে পারে। কেউ যদি কিছু বুঝতে না পারেন, তাহলে কোন সংকোচ বোধ না করে সরাসরি messenger এ যোগাযোগ করতে পারেন, আমি আমার সাধ্যমত সাহায্য করার চেষ্টা করব।
আগের পর্বে আমরা Deduction নিয়ে আলোচনা করেছি। এই পর্বে আমরা কথা বলব Induction নিয়ে। Problem solving এর সবচাইতে সহজ উপায় Induction। এতে সময় কম লাগে, আর এটা apply করাও সহজ। এটা করতে বেশি জ্ঞান থাকা লাগে না। শুধু সমীকরণ সমাধান করতে পারলেই হয়। ফলে, beginner দের মধ্যে এটা অনেক জনপ্রিয়। এর মাধ্যমে beginner দের আত্মবিশ্বাস ও বাড়ে। তবে হ্যা, আমার কাছে সবচাইতে প্রিয় পদ্ধতি Contradiction, যার সম্পর্কে আমরা পরবর্তী পর্বে আলোচনা করব।
Induction এর মূল ধারণা, কোন সুত্র একটা সংখ্যার জন্য সঠিক হলে তার পরবর্তী সংখ্যার জন্যও সঠিক হবে।এখন, আমরা যদি দেখাতে পারি, যে তা একটি সংখ্যার জন্য সঠিক, তাহলে তা পরের সংখ্যার জন্যও সঠিক হবে, আবার তার পরের সংখ্যার জন্য সঠিক হলে সেই সংখ্যার পরের সংখ্যার ক্ষেত্রেও সঠিক হবে, এভাবে আমরা না দেখেই বলে দিতে পারি সব ক্ষেত্রেই তা সঠিক হবে। ভালোমতো বুঝতে নিচে উদাহরণ দেখুন।
Induction এর 2 টা step আছে। যথা:
i)Proving base case এবং
ii)Inductive step.
Base case বলতে বোঝায় একটা সংখ্যার ক্ষেত্রে যে problem টা সঠিক, তা দেখানো (উদাহরণ দেখুন)। এটি খুব গুরুত্বপূর্ণ। Base case-হিসেবে যে সর্বনিম্ন (কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে সর্বোচ্চ) সংখ্যার জন্য যা প্রমাণ করতে হবে, তা সঠিক হয়, তাকে নিতে হবে।
Inductive step এ ধরতে হবে যা প্রমাণ করতে হবে, তা n=k এর জন্য সঠিক। এরপর দেখাতে হবে, n=k+1 এর জন্যও তা সঠিক হবে।
মনে আছে, আমরা গত পর্বে গাউস এর সুত্র ব্যবহার করে problem solve করেছিলাম। এখন আমরা induction ব্যবহার করে তা প্রমাণ করি।
উদাহরণ: প্রমাণ কর যে, 1 থেকে n পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর যোগফল n(n+1)/2
প্রমাণ:
i)Proving base case: এখানে সর্বনিম্ন যে সংখ্যার জন্য সুত্রটি সত্য, তা হল 1। তাই আমি base case এ 1 এর জন্য এটি প্রমাণ করব।
n=1 হলে,
বামপক্ষ= 1+...+n = 1
ডানপক্ষ= n(n+1)/2 = 1(1+1)/2 = 2/2 = 1
অতএব, বামপক্ষ=ডানপক্ষ
ii)Inductive step: এখন, আমরা ধরে নিই, n=k এর জন্য সত্য। এখন, এই তথ্য ব্যবহার করে দেখাতে হবে, n=(k+1) এর জন্যও তা সত্য।
n=(k+1) হলে,
বামপক্ষ= 1+...+n
= 1+...+k+(k+1)
= (1+...+k)+(k+1)
= {k(k+1)/2}+(k+1)
= {k(k+1)/2}+{2(k+1)/2}
= {(k+1)/2}(k+2) [{(k+1)/2} কমন নিয়ে]
= (k+1)(k+2)/2
ডানপক্ষ= n(n+1)/2
= (k+1){(k+1)+1}/2
= (k+1)(k+2)/2
অতএব, বামপক্ষ = ডানপক্ষ
আমাদের প্রমাণ শেষ!
আমরা এখানে শুরুতে দেখিয়েছি problem টা একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার জন্য সঠিক হয়। এরপর দেখিয়েছি, কোন সংখ্যার জন্য সঠিক হলে তার পরের সংখ্যার জন্যও সঠিক হবে।
তাহলে দেখতেই পাচ্ছেন Induction একটা মারাত্মক ভয়াবহ technique! এটির মাধ্যমে আপনি সামান্য কিছু সমীকরণ সমাধান করেই নির্দ্বিধায় বলে দিতে পারছেন যে তা সকল সংখ্যার জন্য সত্যি!
Induction এর শুধু একটা ধরণ আপনারা দেখলেন, এছাড়াও উল্টো দিক থেকে induction, strong induction, ইত্যাদি অনেক ধরণ আছে, যা আশা করি শেষ পর্বে আমার suggest করা বই গুলো থেকে আপনি জানতে পারবেন।
শেষ করার আগে একটা কথা বলে রাখি, ঘাবড়ে যেতে পারেন ভেবে কথাটা আগে বলিনি- induction এর বিষয়টা বুঝতে ক্যাম্পে আমার প্রায় ৩ দিন সময় লেগেছিল! ইত্তিহাদ ভাইয়া আমাকে আলাদাভাবে বুঝানোর জন্য অবশেষে বুঝতে পেরেছিলাম। একটা মজার কথা বলি, আমার এক ক্যাম্পমেট, ডিউক, আমি induction বুঝতে পেরেছি জানতে পেরে আমার কাছে বুঝতে চাইলে আমি পরপর ৩ দিন তাকে আমার সাথে পরে যোগাযোগ করতে বলেছিলাম, কিন্তু তা আর শেষ পর্যন্ত হয়ে ওঠেনি।
অনেক কথা বলে ফেললাম, এই পর্বটাও আমার আশার চাইতে বেশি বড় হয়ে গেছে, আসলে induction ছোট (দের জন্য) হলেও (আকারে) ছোট নয়। The more you talk, the more you mistake, তাই আমার ও অনেক ভুলভ্রান্তি হতে পারে। আমার ভুল ত্রুটিগুলো মুক্তমনে ক্ষমা করে কমেন্টে জানালে অনেক খুশি হব, ধন্যবাদ।
Writer Bayezid Bostami
Tags:
Mathematics